Виды и особеннсоти плиток-многоугольников

Нестандартная плитка многоугольник делает необычным любой интерьер. На фоне обычных прямоугольных и квадратных плит она выглядит дизайнерским изыском. Благодаря своей яркой индивидуальности, плитки многоугольники уже много лет не выходят из моды. Как правило, их изготавливают из керамогранита — прочного и универсального материала, который подходит для укладки на пол и стены, на улице, во влажных и жилых помещениях. Плитку многоугольник можно подобрать любого размера, цвета, формы и фактуры специально для вашего интерьера.

• Отличительные характеристики
• Виды
  • Гексагоны соты
  • Гексагоны в виде мозаики
  • Ромбы
  • Ромбы в объемном кубе
  • Рыбья чешуя
  • Геометрия
  • Панно на кухонном фартуке
• Отделка пола
• Способы укладки шестигранников
  • Традиционная укладка гексагонов
  • Выкладывание узора
  • Смесь из разных цветов
  • Облицовка стен
• Текстуры плитки
  • Текстура под дерево
  • Текстура под мрамор или другой камень
  • Моноцвет
  • Декоративный рисунок
• Преимущества и недостатки

Отличительные характеристики

Керамическая плитка многоугольник обладает выдающимися практичными характеристиками. Благодаря своей низкой пористости, керамогранит не впитывает влагу, морозостоек и очень прочен. За этой плиткой не требуется никакого особого ухода и она крайне удобна в быту.

Не уступают и эстетические характеристики. Керамогранитная плитка многоугольник может быть практически любого размера и фактуры. Благодаря современным методам печати, на керамогранит можно в точности нанести любой рисунок или текстуру. Часто плитка из этого материала внешне имитирует какой-либо дорогостоящий натуральный материал, например: мрамор, гранит, оникс, древесину, бетон, металл и так далее. Результат получается неотличимым от оригинала, однако с улучшенными свойствами и более дешевый. Такое разнообразие текстур, делает плитку многоугольник еще более оригинальным элементом дизайна.

Виды

Наиболее популярными формами у многоугольной плитки являются следующие:

Гексагоны соты

Соты или шестигранники — пожалуй, самая популярная нестандартная форма у керамогранита. Шестигранники разных цветов отлично мешаются друг с другом, создавая геометрический рисунок, плавный переход от одного цвета к другому или же равномерную смесь из нескольких оттенков. Такая форма подойдет для современных и смелых интерьеров.

Гексагоны в виде мозаики

Шестигранники изготавливаются не только в виде отдельных плит, но из в виде мозаики. В таком случае, размер одной соты не превышает 10-12 см.

Ромбы

Керамические многоугольники такой формы, как правило, не очень крупны. Ромбовидный силуэт придает плитки аристократизма и изысканности, что отлично впишется в интерьеры с классическими элементами.

Ромбы в объемном кубе

Подвидом ромбовидной формы плитки можно назвать ромбы, сложенные в объемные кубы. Как правило, такая форма встречается в мозаике. Цвет ромбов может быть одним на весь объем, или же могут использоваться контрастные оттенки. Особенно изысканно ромбы в кубах смотрятся с натуральными текстурами поверхности, например, мрамор в полоску или древесина.

Рыбья чешуя

Рыбья чешуя — необычная и очень красивая форма, придающая помещению атмосферу изысканности и волшебства. Эта плавная форма не только идеально подходит для декорирования ванн, туалетов и бассейнов, но также будет стильно и необычно смотреться в любом другом месте.

Геометрия

На рынке можно встретить и более сложные и необычные формы плиток. Однако, чтобы укладка такого материала не стала совсем уж сложной, такие плиты обычно изготавливаются стандартных форм, с декоративными прорезями, имитирующими швы между разными плитками. Или же, в более бюджетных случаях, ограничиваются лишь геометрическим рисунком. Вариант с маленькими формами — это может быть мозаика, продающаяся на сетке.

Панно на кухонном фартуке

Кухонный фартук — отличное место для укладки плитки необычной формы. Сюда подойдут небольшие форматы, а еще лучше — мозаика. Для фартука необязательно использовать именно керамогранит — подойдет и обычная настенная плитка. Так как это место часто придется мыть от жира, предпочтение лучше отдавать материалам без чувствительного к химическим воздействиям декорирования. Помните также, что глянцевая поверхность мыть намного легче чем матовую.

Отделка пола

При отделке пола рекомендуется отдавать внимание керамограниту, как более прочному и надежному материалу. Впрочем, если помещение отапливаемое и не имеет контактов с улицей, то подойдут и некоторые виды керамики. Один из главных критериев напольной плитки — насколько она скользкая. Глянцевую и лаппатированную плитку нельзя укладывать во влажных помещениях, на террасах и на улице. Что касается внешнего вида — практичнее подбирать плитку с рябой текстурой, которая могла бы скрыть некоторые виды загрязнений. В прочем, все зависит от типа помещения и от его предполагаемой проходимости. Текстура напольной плитки может быть любой. Самые популярные: мрамор, камень, бетон и древесина.

Способы укладки шестигранников

Шестигранная плитка — пластичный и многофункциональный инструмент в умелых руках. Укладывая по-разному одну и ту же плитку в одном и том же помещении, можно добиться очень разных результатов. Рассмотрим существующие способы укладки плиток-сот:

Традиционная укладка гексагонов

Традиционная укладка гексагонов — это полное покрытие определенной области однотонными шестигранниками. Такая укладка станет изюминкой в помещении с минималистичным современным дизайном благодаря необычной форме плитки.

Выкладывание узора

Довольно сложный способ укладки, требующий дополнительной подготовки. Помимо создания эскиза, рекомендуется перед непосредственной облицовкой разложить плитку в виде желаемого узора на сухую. Также следует учесть, что выкладывание узора имеет смысл лишь при работе с довольно большими пространствами, ведь на маленькой площади его просто не будет видно.

Смесь из разных цветов

Более простой способ разнообразить облицовку из шестигранников — смешать несколько цветов. Можно сделать это равномерно, а можно так, чтобы один цвет плавно перетекал в другой. Благодаря форме сот, облицовка плитками разного цвета будет выглядеть более органичной и однородной, нежели при подобной укладке квадратной плитки.

Облицовка стен

Плитки многоугольники подходят и для облицовки стен. Полностью облицевав одну из стен помещения плиткой многоугольниками можно создать стильный и необычный акцент в интерьере. Настенная плитка будет очень кстати не только в санузле, но и на кухне. Кухонных фартук — отличное место для творческих экспериментов. Плитка многоугольник небольшого формата или мозаика будут прекрасным решением.

Текстуры плитки

Как уже говорилось, современные методы печати позволяют нанести на керамику и керамогранит практически любой рисунок, в том числе имитирующий текстуру других материалов. Рассмотрим самые популярные варианты:

Текстура под дерево

Очень популярный вид рисунка. Современную плитку под древесину можно отличить от настоящего материала чуть ли не только на ощупь. Огромным преимуществом перед натуральным деревом является неприхотливость и прочность керамогранита — он не деформируется со временем, не боится влаги и перепадов температур, прост в уборке и, при всем этом, стоит значительно дешевле.

Текстура под мрамор или другой камень

Мрамор и прочие виды камня также очень популярны среди керамогранитных текстур. Не обходит стороной этот рисунок и плитки многоугольники. Сочетание присущей классическим интерьерам текстуры и современной смелой формы создают необычный контраст, который многим придется по вкусу.

Моноцвет

Многоугольная плитка, полностью покрытая одним цветом, подойдет для минималистичных, современных помещений.

Декоративный рисунок

Помимо абстрактных природных текстур, существует множество моделей с дизайнерским рисунком. Это может быть классический пэчворк, средиземноморские узоры или современные геометрические абстракции. Не стоит забывать и про 3d плитку, способную сделать необычным любое пространство.

Преимущества и недостатки

Как и у любого материала, у плитки многоугольников есть плюсы и минусы. К ее преимуществам можно отнести:
• Необычный и запоминающийся внешний вид
• Благодаря небольшому формату, такая плитка оказывается более прочной и реже бьется
• Возможность с легкостью сочетать разные цвета плитки из одной коллекции
• Возможность складывать орнаменты и узоры

К недостаткам относятся:
• Гораздо более узкий выбор текстур и форматов, нежели у плитки стандартных форм
• Повышенная сложность укладки

Интерьерная плитка – секреты выбора и монтажа

У плитки масса преимуществ перед большинством отделочных материалов. Она устойчива к истиранию и воздействию температур, химическим загрязнениям и выгоранию, не пропускает воду и не требовательна в уходе. Но все качественные характеристики проявятся в полной мере лишь при грамотном выборе этого декоративного материала и его правильной укладке.  На что обращать внимание при покупке, как монтировать плитку и еще много полезных советов – в нашем материале.

Как выбрать плитку

Самый главный параметр при выборе плитки – место ее использования. Исходя из него нужно подбирать материал по способу изготовления, размерам и классу износоустойчивости.

Особенности производства

По этой характеристике плитка делится на несколько видов:

1.

Керамическая (в обиходе кафельная)

Бывает квадратной, прямоугольной и многоугольной формы. Изготавливают из глины, которую обжигают при температуре более 1000 °С и покрывают глазурью. За счет глазури производитель наносит на плитку разнообразные цвета, орнаменты, меняет поверхность: делает ее глянцевой или матовой. Керамическая плитка используется для отделки внутри помещений.

2. Керамогранит

Высокопрочная керамическая плитка, которую производят с помощью сухого прессования и одинарного обжига при температуре 1200–1300 °C. Подходит для укладки и внутри, и вне помещений.

3. Клинкер

Разновидность керамической плитки. При ее изготовлении сырье продавливают через форму (экструдированный клинкер). Затем обжигают при температуре более 1200 °C, за счет чего плитка практически не впитывает воду и становится морозоустойчивой. Благодаря этим характеристикам, основное место применения клинкера — фасад.

4. Стеклянная

Производят из стеклопорошка с добавлением различных компонентов для усиления прочности. Благодаря плотной структуре на поверхности плитки не скапливаются загрязнения. Может быть матовой или зеркальной.

Размеры плитки

Здесь плитку делят на 3 большие группы:

1. Мелкоформатную – от мозаичной до стандартной 20х30 см. Быстро уложить такую плитку не получится, зато вариантов укладки гораздо больше, чем у крупной. Мелкие пластины можно размещать классической ровной кладкой, «кирпичиками», «елочкой» и прочее.

2. Среднеформатную – самый популярный тип квадратной или прямоугольной плитки с минимальными размерами 30х30 или 30х40 см. Более удобна в монтаже, чем мелкоформатная, подходит для любых помещений.

3. Крупноформатную – плитка со стороной от 50 см. Укладывается быстрее предыдущих, однако неудобна для помещений со сложной геометрией пола и стен, потому что из-за больших габаритов ее сложно подгонять при монтаже.  

Многие дизайнеры экспериментируют при оформлении помещений плиткой: комбинируют в одном интерьере материалы разных форматов. Это позволяет добиться необычного ритма в рисунке пола, делает интерьер уникальным и необычным.

Классы износостойкости плитки

Их присваивают глазурованной плитке. Класс определяет степень истираемости материала по шкале PEI, созданной американским институтом по изучению керамических материалов – Porcelain Enamel Institute, и, соответственно, место применения плитки.

• PEI I (Первый класс)

Плитку можно использовать в помещениях с невысокой нагрузкой. Ходить по ней можно босиком или в мягкой обуви. Подойдет для ванной комнаты, спальни.

• PEI II (Второй класс)

Тоже для невысоких нагрузок. Ходить по плитке можно в домашней или мягкой обуви. Подойдет для жилых комнат в квартире или доме, а также для ванной. Не подойдет для прихожей и кухни.

• PEI III (Третий класс)

Выдерживает среднюю по интенсивности нагрузку. Можно укладывать в любых помещениях в доме и квартире, а также в офисах с небольшой проходимостью.

• PEI IV (Четвертый класс)

Выдерживает интенсивную нагрузку – подходит и для жилых, и для коммерческих объектов.
• PEI V (Пятый класс)

Устойчива к высоким нагрузкам. Используют для помещений с большой проходимостью, в том числе в метро и аэропортах.

Коэффициент сопротивления скольжению

Определяет, насколько безопасной будет плитка. Обозначается буквой R с числовым значением от 9 до 13. Чем выше коэффициент, тем ниже риск поскользнуться на плитке. Для бытового применения достаточно плитки с коэффициентом R9.

Как укладывать плитку

При покупке плитки проверьте, что вся партия имеет одинаковый тон и калибр (габариты) – они указаны на упаковке. Продавцы не принимают претензии, если вы остались недовольны размерами и цветовыми характеристиками плитки после укладки.

Тон и калибр не указывают для декоративных керамических и стеклянных элементов (бордюров, вставок, панно, мозаики).

Перед монтажом сохраните одну упаковку с обозначением бренда, коллекции и артикула или сделайте ее фото. Так вы не ошибетесь, если придется докупать плитку.

При укладке обязательно используйте крестики, клинья или систему выравнивания плитки. Это поможет сохранить ровные швы между модулями, которые необходимы для компенсации изменения геометрии плитки при перепадах температур. Как правило, размеры швов варьируются в пределах 1–12 мм.

Артикул: 705004043

Зажимы TLS 1.4 мм 100 шт

Артикул: 705004044

Клинья TLS 100 шт

Артикул: 288780465

Инструмент для плиточных работ TLS

Если вы хотите получить бесшовный пол, можно использовать ректифицированную плитку с ровными краями. Несмотря на название пола, такую плитку все равно укладывают со швами, но их размер всего 0,5–1 мм. Поэтому визуально поверхность кажется однородной.

Ректифицированная плитка позволяет получить минимальный шов, который после затирки практически не заметен

Укладывая плитку крупного формата со смещением на стену и пол, не сдвигайте ее относительно предыдущего ряда более чем на 25%. Дело в том, что из-за особенностей производства у такой плитки есть небольшое возвышение в центре. Если сдвигать плитку больше 25%, уложенная поверхность будет неровной. А вот мелкоформатную плитку можно смещать как душе угодно.

ВАЖНО!	На тыльной стороне плитки есть знак стрелки. Этот символ ставят на фабрике, чтобы обозначить направление движения плитки по конвейеру. К рисунку или направлению укладки эта стрелка никакого отношения не имеет.

Что понадобится для укладки плитки

Из инструментов и материалов вам понадобятся:

— механический или электрический плиткорез

— резиновый или зубчатый шпатель

— система выравнивания и крестики

— затирка для швов

— клей

Для декоративных элементов с металлизированным покрытием нужна затирка с мелкой структурой. А очищать такую плитку от загрязнений лучше мягкой губкой или тканью.

Если вы укладываете декоративную мозаику из стекла, не используйте клей на основе серого цемента – он создаст темный фон под прозрачным декором. Лучше использовать клей на основе белого цемента:

Артикул: 511000829

Клей для плитки LITOKOL LITOPLUS K55 белый 25 кг

Для зеркальной мозаики и зеркального полотна подойдет эпоксидная затирка, которая подбирается под цвет шва (на выбор покупателя).

Прежде чем затирать швы у мраморной мозаики, защитите лицевую сторону плитки от контакта с раствором. К примеру, нанесите на нее универсальный гидрофобизатор. Напоминаем, что мрамор – материал пористый и легко впитывающий!

Если вы укладываете плитку с имитацией натурального камня или дерева, не пытайтесь подобрать рисунок отдельных модулей. Стыковка по рисунку в этом случае производителем не предусмотрена.

Чтобы дизайн-проект оформления плиткой вашего интерьера сложился не только в мыслях, но и в реальности, воспользуйтесь нашим сервисом визуализации. Всего за 15 минут специалист «Бауцентра» подготовит проект на основе выбранного вами материала и данных помещения, рассчитает точное количество плитки и предложит варианты ее укладки.

Плитка многоугольная для пола

Обновлено: 07.10.2022

Испания Подробнее от 1 500.75 р./м 2

Испания Подробнее от 1 519.98 р./м 2

Германия Подробнее от 1 800.00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 510.00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 923.00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 950.00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 980.00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 990.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 020.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 145.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 175.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 190.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 197.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 400. 00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 560.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 692.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 693.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 693.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Напольная

Испания Подробнее от 1 500.75 р./м 2

Испания Подробнее от 1 500.75 р./м 2

Испания Подробнее от 1 519.98 р./м 2

Россия Подробнее от 1 526.00 р./м 2

Испания Подробнее от 1 531.20 р./м 2

Россия Подробнее от 1 540.00 р./м 2

Россия Подробнее от 1 540. 00 р./м 2

Россия Подробнее от 1 540.00 р./м 2

Россия Подробнее от 1 540.00 р./м 2

Испания Подробнее от 1 543.44 р./м 2

Испания Подробнее от 1 559.11 р./м 2

Испания Подробнее от 1 560.00 р./м 2

Испания Подробнее от 1 563.10 р./м 2

Россия Подробнее от 1 565.00 р./м 2

Испания Подробнее от 1 567.00 р./м 2

Россия Подробнее от 1 600.00 р./м 2

Испания Подробнее от 1 607.00 р./м 2

Египет Подробнее от 1 630.00 р./м 2

Испания Подробнее от 1 635.00 р./м 2

Испания Подробнее от 1 500.75 р./м 2

Испания Подробнее от 1 519.98 р./м 2

Германия Подробнее от 1 800.00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 510. 00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 923.00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 950.00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 980.00 р./м 2

Испания Подробнее от 2 990.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 020.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 145.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 175.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 190.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 197.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 400.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 560.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 692.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 693.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 693.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740. 00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 740.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 767.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 808.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 960.00 р./м 2

Испания Подробнее от 3 961.00 р./м 2

Испания Подробнее от 4 390.00 р./м 2

Испания Подробнее от 4 480.00 р./м 2

Испания Подробнее от 4 600. 00 р./м 2

Испания Подробнее от 4 660.00 р./м 2

Испания Подробнее от 4 712.00 р./м 2

Испания Подробнее от 5 280.00 р./м 2

Испания Подробнее от 5 750.00 р./м 2

Испания Подробнее от 8 650.00 р./м 2

Испания Подробнее от 27.00 р./м 2

Испания Подробнее от 30.00 р./м 2

Размер: 240×240 мм 260×260 мм 265×285 мм 280×270 мм 280×295 мм 281×281 мм 282×285 мм 290×240 мм 290×300 мм 291×291 мм 295×300 мм 298×298 мм 298×300 мм 300×284 мм 300×300 мм 300×305 мм 301×301 мм 302×260 мм 303×340 мм 305×290 мм 305×305 мм 308×298 мм 309×309 мм

Смотрите также

По назначению

Рекомендуем

Дополнительно

По размеру

По цвету

По рисунку

Смотрите также шестиугольную плитку для пола в нашем магазине в Краснодаре

Обращаем Ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер и ни при каких условиях информационные материалы и цены, размещенные на сайте, не являются публичной офертой, определяемой положениями Статьи 437 Гражданского кодекса РФ.

Шестиугольная плитка — универсальный облицовочный материал, который может быть использован для укладки как на стену, так и на пол. Современная индустрия производства керамических изделий позволяет выпускать плитку «соты» моноколор, с рисунком в стиле пэчворк и прованс, с имитацией под бетон, дерево, камень, кирпич, металл, мрамор, обои, оникс, паркет, ткань.

Плиткой шестигранник можно декорировать интерьер ванной комнаты и туалета, фартука, гостинной, коридора, а также использовать ее для облицовки фасада дома, камина, бассейна, цоколя.

Цветовое решение шестиугольной плитки многообразно:

• бежевый;
• белый;
• бирюзовый;
• бордовый;
• голубой;
• желтый;
• зеленый;
• коричневый;
• красный;
• оранжевый;
• розовый;
• светлый серый;
• синий;
• черный и др.

Поверхность изделий — матовая, глянцевая (полированная), лаппатированная.

Реализуем керамику всех видов мировых брендов: Antic Colonial, Aparici, Apavisa, Ape, Ariostea, Casa Dolce Casa, Casabella, Cerdomus, Cerim, Cersanit, Decovita, Del Conca, Dual Gres, Gresmanc, Grespania, Emotion Ceramics, Exagres, Fabbrica, Flaviker, Gres Aragon, Gres, Dune, Gresmanc, Grespania, Keope, Laminam, Meissen, Mirage, Pamesa, Qua, Ribesalbes, Serenissima Cir, Tau Ceramica, Tonalite, Venatto, Villeroy Boch, Vitra и др.

Как купить?

Если Вас интересует качественная керамика зарубежных производителей (Германия, Испания, Италия, Китай, Турция и др.), воспользуйтесь каталогом сайта. Мы предлагаем на выбор керамические изделия, разделенные по типу назначения — бордюр, вставка, кабанчик, панно, ступени. Для каждого элемента указаны технические характеристики (размер, цвет, форма, рисунок, цена в руб).

Читайте также:

  
• Кирпич браер баварская кладка риф
  
• Как установить кран для стиральной машины в пластиковую трубу
  
• Классификация паркета по сортам
  
• Схема устройства защитной стены в грунтах возле чернобыльской аэс
  
• Как перекрыть крышу погреба металлом

Polygon Light Tiles обзор — The Gadgeteer

Мы используем партнерские ссылки. Если вы покупаете что-то по ссылкам на этой странице, мы можем получить комиссию бесплатно для вас. Учить больше.

ОБЗОР – Одна из спален в нашем доме должна служить двум целям: Большую часть года это мой офис, но когда дети возвращаются на каникулы, это спальня. В половине комнаты стоит мой стол с моими компьютерами, а в другой половине нужна кровать. Я еще не купил эту кровать, но я планирую получить что-то вроде капитанской кровати или мини-чердака. Поскольку кровать будет стоять у стены, у меня не будет места для традиционного столика с лампой, поэтому я искал идеи для источника света, который можно было бы использовать при чтении в постели. Именно тогда я нашел световые плитки Polygon.

Что это?

Многоугольная светлая плитка представляет собой набор модульных шестиугольных плиток, которые можно творчески сгруппировать вместе и прикрепить к стене. При прикосновении они загораются; чем больше плиток затронуто, тем ярче свет. Polygon — американская компания, базирующаяся в Нью-Йорке, которая занимается «созданием уникальных продуктов, ориентированных на дизайн».

Что в коробке?

Polygon был достаточно любезен, чтобы прислать мне свой Starter Pack и Expansion Pack, и они прибыли в паре коробок цилиндрической формы. Стартовый пакет содержит:

• 5 полигонов
• 1 Блок питания
• 1 Набор липких подушечек
• 1 Руководство по эксплуатации

Пакет расширения содержит:

• 10 полигональных плиток
• 1 Набор липких подушечек
• 1 Руководство по эксплуатации

Вместе они дали мне 15 плиток для работы.

Характеристики оборудования

• Освещение: 80 люмен на плитку
• Светлый цвет: теплый белый
• Тип освещения: 24 светодиода на плитку
• Размеры: 4,5 x 4 x 0,75 дюйма
• Настенное крепление: липкие подкладки или гвозди
• Блок питания: 48 Вт (1 блок питания может питать до 65 плиток)

Конструкция и характеристики

Подпишитесь на информационный бюллетень The Gadgeteer Daily Digest Никогда больше не пропустите ни одного из наших постов. Отправлено в понедельник, среду и пятницу с последними обзорами гаджетов и новостями!

Каждая плитка имеет форму многоугольника. Верхняя половина из белого пластика, а нижняя половина из очень светло-серого пластика. Когда плитка подсвечивается, весь верх становится белым; нет рамки по краям. Каждая из шести сторон имеет магнит, который удерживает ее вместе со следующей плиткой, а также пару металлических деталей, проводящих электричество. Они представляют собой нетрадиционный источник освещения, конструкция которого проста и практична.

Установка и настройка

Установка светильников Polygon выполняется в три этапа. Сначала выберите любую плитку и подключите ее к источнику питания. Коснитесь верхней части плитки, и она загорится.

Во-вторых, положите плитку на ровную поверхность, например на кухонный стол, и начните соединять другие плитки. Магниты будут удерживать плитки рядом с каждой; если вам посчастливилось разместить две плитки вместе так, что их магниты отталкиваются, просто поверните одну из плиток. Именно сейчас должен проявиться ваш творческий потенциал. Вы понимаете, что можете соединять плитки вместе любым способом, который вы хотите, чтобы получить любую форму, которую вы можете себе представить. Единственное требование состоит в том, что все они должны быть соприкасающимися. Когда вы соединяете плитки, используйте размашистое движение руки, чтобы коснуться верхней части нескольких плиток, и вы увидите, как они все загорятся. Проведите еще раз, и они выключаются. Очень здорово видеть, как плитки работают вместе.

В-третьих, закрепите их на стене. Polygon предусматривает два механизма крепления плитки на стену. Во-первых, в задней части каждой плитки есть пара отверстий для гвоздей, которые можно использовать с маленькими гвоздями или гвоздями. Во-вторых, они включили набор липких прокладок (причудливая двухсторонняя лента) с каждой упаковкой. Я читал, что эти подушечки действительно липкие и имеют тенденцию сдирать краску со стены, если вы попытаетесь их снять, поэтому вместо этого вы можете использовать командные полосы, особенно если вы думаете, что можете перемещать свет. Что бы вы ни предпочли, сначала установите силовую плитку, используя уровень, чтобы держать ее прямо (если, конечно, у вас не очень креативный дизайн, который не должен быть ровным), и убедитесь, что плитка повернута, чтобы позволить шнур питания свисать. Имейте в виду длину шнура — около шести футов в длину — чтобы он мог доставать до розетки. Затем по одной соединяйте остальные плитки. Polygon рекомендует крепить к стене 70% плитки. Когда все они установлены, подключите питание, и все готово!

Вот картина того, на чем мы наконец остановились. Я фанат Толкина и планирую украсить свой офис темой Средиземья, поэтому меч показался мне разумным использованием плитки.

Если вы хотите прочитать руководство самостоятельно, вы можете найти его в этом PDF-файле.

Performance

Лампы теплого белого цвета придают комнате приятное свечение. Поверхность не кнопка; скорее у него есть емкостный датчик, который реагирует на прикосновение. В ходе тестирования я обнаружил, что лучше всего он реагирует на прикосновение несколькими пальцами или ладонью; если я касался плитки одним пальцем, иногда плитка включалась, а иногда нет.

Светильник идеален для чтения. Я думаю, что их было бы естественно повесить рядом с кроватью, которую я добавлю в свой офис, и их также можно было бы использовать рядом со стулом, диваном или любым другим местом, где вам нужен дополнительный свет ночью. Поскольку каждая плитка загорается индивидуально — это не все или ничего — у вас, по сути, есть свет, который вы можете сделать настолько ярким или тусклым, насколько хотите. В этот момент у вас может возникнуть соблазн отреагировать, спросив: «Вы имеете в виду, что это просто свет?» Да, конечно! Именно в этом суть! На своей странице «О компании» Polygon говорит, что они «верят в креативные, красивые и функциональные продукты». Они предназначены не только для творческого расположения плитки, они предназначены для того, чтобы стать функциональным источником света для вашей комнаты.

Говоря о творчестве, вы можете расположить плитки как угодно. Вы можете сделать простые линии или геометрические фигуры, хотя я думаю, что самые изящные проекты включают в себя другие элементы на стене, такие как это дождевое облако или этот воздушный шар. Как это круто! Какие творческие идеи у вас есть? Если бы у вас было 15 плиток, как бы вы их расположили? Я хотел бы услышать ваши идеи в комментариях ниже.

Когда плитки кладутся рядом друг с другом, их нельзя скреплять зажимами, скотчем или чем-то еще. Магниты с каждой стороны притягивают плитки друг к другу и не дают им двигаться; однако магниты недостаточно сильны, чтобы удерживать их вместе на стене. Другими словами, вы не можете закрепить одну плитку парой гвоздей, а затем ожидать, что магниты будут удерживать остальные плитки на месте. Я считаю, что рекомендация Polygon монтировать 70% тайлов верна.

Если и есть что-то в фонарях Polygon, что может вызвать беспокойство, так это цена. Пять плиток с блоком питания стоили 112 долларов. Это более 20 долларов за плитку. Ой! Если вы купили два пакета, которые Polygon прислал мне для тестирования, это обойдется вам в 248 долларов. Это не дешево! Если вам просто нужно немного света, будет дешевле купить пару ламп. Однако многоугольные источники света — это больше, чем просто источники света: они представляют собой смесь креативности, функциональности и интерактивности, и это именно то, что основатель Polygon Джеймс Вандерпант стремится поощрять.

Я думаю, что свет и так очень классный, но если бы я мог что-то добавить, то это был бы цвет. Светодиоды способны отображать широкий спектр цветов, и было бы неплохо иметь какой-то способ изменить цвет, создав тем самым другую атмосферу в комнате.

Дополнительные функции

У этих светильников нет никаких дополнительных функций, но Polygon также продает пробковые плитки и плитки с растениями, которые можно вставлять между светлыми плитками для дополнительного творчества и разнообразия.

Что мне нравится

• Магнитная система блокировки
• Емкостной сенсорный интерфейс
• Творческие возможности

Что бы я изменил

• Снизить цену или добавить функцию, например разные цвета

Заключительные мысли

Многоугольные светильники — это модульная система освещения, одновременно минималистичная и функциональная. Плитку в форме шестиугольника можно повесить на стену любой формы или узора, ограниченного только вашим творчеством (и вашим бюджетом). Они излучают разное количество теплого белого света в зависимости от того, к скольким плиткам вы прикасаетесь. Я думаю, что они станут прекрасным источником света для чтения ночью моими детьми, как только я смогу найти идеальную кровать для своего офиса. Если вы хотите добавить креативный источник света в свою комнату и у вас есть немного лишних денег, то я рекомендую потратиться на эти светильники.

ОБНОВЛЕНИЕ (6 февраля 2020 г.) – Наконец-то я получил эту кровать для своего офиса. Я нанял местную компанию, чтобы построить для меня мини-чердак по индивидуальному заказу, и как только они закончили, я снова установил лампы Polygon. Меч на картинке выше был временным; Я снял его, когда искал кровать. Где-то по пути я передумал украшать с помощью Толкина, поэтому вместо этого я создал более абстрактную форму, похожую на наконечник стрелы. Для этого я использовал командные полосы, используя одну полосу для каждой плитки, скрывая каждую вкладку под следующей полосой. Это должно облегчить удаление всего этого, если я когда-нибудь передумаю о том, куда оно идет. В целом, мне очень нравится, как он выглядит, и он, безусловно, обеспечивает много света в комнате. Я счастлив.

Цена : 112 долларов США (стартовый пакет), 136 долларов США (пакет расширения)
Где купить : Интернет-магазин Polygon
Источник : Образец для этого обзора был предоставлен Polygon.

Web Rep-Tiles — West Chester University

Математический факультет, Anderson Hall 331a, West Chester University, West Chester, PA 19383

Цель этой заметки — по-новому взглянуть на некоторые из самых удивительных обнаруженных объектов. по занимательной математике. Эти предметы, обладающие любопытным свойством создавать более крупные копии самих себя были введены в 1962 Соломона В. Голомба [2], а вскоре после этого были популяризированы Мартином Гарднером [3] в журнале Scientific American. В терминологии Голомба плоская фигура (или плитка) определяется быть повторением порядка k (или повторением k ), если его можно разделить на k реплик, каждая из которых конгруэнтна другой и подобна исходной. Если k=4 , эквивалентным определением будет то, что четыре одинаковые фигуры должны быть собраны в масштабная модель, вдвое длиннее и вдвое выше. Все треугольники и параллелограммы представитель 4 плитки. Помимо этих очевидных примеров, известно большое количество рептилий. Мы в этой статье мы рассмотрим все известные репрезентативно- 4 выпуклые многоугольники и пару репрезентативно-связанных невыпуклых многоугольников. Наш список берет свое начало в [2], где можно найти примеры повторяющихся тайлов для других значений k , а также примеры разъединенного или фрактального типа. В дальнейшем нас интересует в следующем вопросе:

Вопрос 1  Какие полигональные репрезента- 4 плитки являются ре- k ² плитками для любых 9 0165

9 0165

k?

Эквивалентная постановка вопроса состоит в том, чтобы найти, для каких репрезентативных 4 плиток k ²  одинаковые фигуры можно собрать в масштабную модель, x k

. Если T  является данной плиткой, мы будем называть масштабную модель k -ое кратное T , а далее в статье будем обозначать его через kT . Вопрос 1 можно рассматривать как частный случай самого общего вопроса:

Вопрос 2  (задача о конечных мозаиках)  Для конечной плоской области  T и конечного набора ∑ плиток найдите, если T  могут быть разбиты на плитки переводом плиток в ∑.

Заметим здесь только, что существуют методы, окрашивающие аргументы среди прочего, которые можно использовать для доказательства несуществование плиток. Мы отсылаем читателя к [1], [4] и [5] для получения информации о других методах, некоторые из которых сильнее аргументов раскрашивания. Открытый вопрос об отсутствии определенных тайлингов, связанных с рептилиями, будет упомянуто во время наша экспозиция. Ответ на вопрос 1 в большинстве случаев будет положительным. Главный метод, используемый в доказательстве наших результатов, является математической индукцией. Наши доказательства не обязательно самый короткий или самый элегантный из возможных. Мы призываем читателя попытаться найти свои собственные доказательства, прежде чем читать наши, и надеяться, что это упражнение поможет увлечь его в этой увлекательной области.

 

 

Как показано на рис. 1, три трапеции представляют собой плитки. Обозначим их Т1, Т2, Т3 . Первые состоят из полутора квадратов, вторые – из трех равносторонних треугольников, а третий состоит из равностороннего треугольника с половинкой. Мы предполагаем на остальной части бумаги стороны квадрата и равностороннего треугольника имеют длину один.

Предложение 3 Все три трапеции T1, T2, T3 , представляют собой K ² для любых K ≥ 1 6666666666.

Доказательство . Для всех трех случаев доказательство проводится по индукции. Проверяем сначала нашу гипотезу для k = 2, 3 , а затем показать, что rep- k ² подразумевает rep-( k +3 ) ² . Доказательство для T1 . Случаи k = 2, 3 рассмотрены на рис. возьмите область ( k +3) T1 и частично покройте ее областью kT1 , как показано на рис. 3. Область kT1 может быть покрыта областью 0166 плиток из-за гипотезы индукции. Непокрытая область может быть разложена в трех частях: прямоугольник (I) размеров ( 2 k , 3 ), прямоугольник (II) размеров ( k , 3 ) и область типа 3 T1 . Прямоугольники могут быть покрыты прямоугольниками размеров ( 3 , 1 ), которые, в свою очередь, могут быть покрыты двумя плитками T1 .

Рисунок 2:

Рисунок 3:

Доказательство для T2 . Случаи k = 2, 3 рассмотрены на рис. 4.

Рисунок 4:

Рисунок 5:

, чтобы показать, что Rep- K ² 66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666616. ² , берем область ( k +3 ) T2 и частично покрываем ее областью kT2 , как показано на рис. 90 1  90 Область kT2 может быть покрыта тайлами T2 из-за гипотезы индукции. Область, не покрываемая областью kT2 , разбивается на четыре части: два параллелограмма (I) и (II) размерностей ( k , 3 ), параллелограмм (IV) размеров ( k +3, 3 ) и равносторонний треугольник (III). Все параллелограммы можно покрыть параллелограммами размеров ( 3 , 1 ), которые состоят из двух плиток T2 , а равносторонний треугольник может быть покрыт плитками T2 как в рис. 5 . Доказательство для T3 . Чемоданы к =2, 3  рассматриваются в рис. 6 .

Рисунок 6:

Рисунок 7:

Рисунок 8:

. — ( k +3) ² , берем область ( k +3) T3 и частично покрываем ее kT3  область, как показано на рис. 7 и рис. 8 . Область kT3 может быть покрыта тайлами T3 из-за гипотезы индукции. Область, не охваченная областью kT3 , разбивается либо на три части, либо на четыре части, согласно k , четным или нечетным. Разложение для k даже показано на рис. 7 . Первые две части представляют собой параллелограммы (I) размеров ( k +3, 3) и (II) размеров ( ^k / ₂ -3, 3 ). Обе они могут быть покрыты параллелограммами размерности (3,1) , состоящими из четырех плиток T3 (см. рис. 7 ). Третья часть имеет тип 3 T3 , поэтому может быть покрыта плитками T3 . Разложение на k нечетное показано на рис. 8 . Первые две части представляют собой параллелограммы, (I) размеров ( k , 3 ) и (II) размеров ( ^k / ₂ — ³ / 903 7 2,905 ). Оба могут быть покрыты параллелограммами размеров (3,1) . Часть (III) представляет собой равносторонний треугольник со сторонами длиной 3 , и его можно покрыть, как показано на рис. 8 . Наконец, четвертая часть относится к типу 9.0009 3 Т3 .

Рис. 9:

Имеется три шестиугольника, которые можно разделить на четыре копии (см. Рис. 9 ). Первый из трех квадратов, второй из четырех квадратов, и третий из пяти квадратов. Обозначим их h2 , h3 и h4 9.0166 соответственно.

Предложение 4: Все три гексагоны H2, H3, H4 , представлены K ² для любых K ≥ 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666.

Пересмотренные плитки Доказательство . Доказательство снова проводится по индукции, но здесь длина шага индукции отличается для каждого типа плитки.

Показываем корпуса k =2, 3  в Рис. 10 . Затем мы доказываем, что из числа k ² следует число ( k +2) ² . Доказательство зависит от класса сравнения по модулю 3 из k . Если k ≅ 0 (mod 3 ) проверка проводится согласно Рис. 11 . Берем область ( k +2) h2 и частично покрываем ее областью kh2 . Область kh2 может быть покрыта h2 тайлами из-за гипотезы индукции. Область, не покрываемая областью х2 , разбивается на семь частей: два прямоугольника (I) и (VII) размерностей (2, k ) , два прямоугольника (II) и (VI) размерами (2,3) , два прямоугольника (III) и (V) размерами (2, 2 k -3) , и область (IV ) типа 2 h3 . Все прямоугольники могут быть покрыты прямоугольниками размерами (2,3) , которые, в свою очередь, могут быть покрыты двумя плитками h3  .

Рисунок 11:

Если  k ≅ 1  (mod 3 ) доказательство выполнено в соответствии с рис. 12 . Берем область ( k +2) h2 и частично покрываем ее областью kh2 . Область kh2 может быть покрыта тайлами h2 благодаря гипотезе индукции. Область, не покрываемая областью х2 , разбивается на семь частей: два прямоугольника (I) и (VII) размерностей (2, k -1) , два прямоугольника (II) и (VI) размером (2,3) , два прямоугольника (III) и (V) размером 2(2,2 k -2) и область (IV) типа 2 h3 . Все прямоугольники могут быть покрыты прямоугольниками с размерами (2,3) , которые, в свою очередь, могут быть покрыты двумя плитками h3 .

Рисунок 12:

Рисунок 13:

Если k ≅ 2  (mod 3 ), доказательство выполняется согласно рис. 13 . Берем область ( k +2) h2 и частично покрываем ее областью kh2 . Область kh2 может быть покрыта тайлами h2 благодаря гипотезе индукции. Область, не охватываемая областью kh2 , разбивается на семь частей: два прямоугольника (I) и (VII) размерности (2, k -2) , два прямоугольника (III) и (V) размерами (2,2 k -4) , а области (II), (IV) и (VI ), типа 2h3 . Все прямоугольники могут быть покрыты прямоугольниками с размерами (2,3) , которые, в свою очередь, могут быть покрыты двумя плитками h3 .

 

0010

 

Рисунок 16:

Доказательство для h3 .  Обратите внимание, что доказательство выполняется немедленно, если k четно. В самом деле, если k четно, мы можем разложить х3 на два прямоугольника размерностью (2 k ,4 k ) . Любой такой прямоугольник можно покрыть прямоугольниками размеров (2,4) , которые, в свою очередь, можно покрыть двумя h3 плитка (см. рис. 14 ). Если k нечетно, действуем по индукции. Мы уже знаем случаи k =2,4 , а случай k =3 рассматривается в рис. 14 . Мы показываем, что rep- k ² подразумевает rep- ( k +4) ² . Возьмите область ( k +4) h3 и частично покройте ее областью kh3  область, как показано на рис. 15 . Область kh3 может быть покрыта тайлами h3 благодаря гипотезе индукции. Область, не покрытая областью х3 , разбивается на семь частей: прямоугольник (I) размерностью ( k -1,4) , прямоугольник (III) размерностью (2 k -2, 4) , прямоугольник (V) размеров (3 k -1, 4) , прямоугольник (VI) размеров ( k -1, 8) , прямоугольник (VII) размеров (5,8) и два квадрата (II) и (IV) размеров (5,5)  с единичный квадрат отсутствует в одном из углов. Прямоугольники (I), (III), (V) и (VI), можно покрыть прямоугольниками размерами (2,4) , которые состоят из двух плиток h3 , а области (II) и (IV), а прямоугольник (VII), можно покрыта h3 плитка как у рис. 16 .

Рисунок 17:

Рисунок 18:

Рисунок 19:

. Рисунок 19:

. Рисунок 19: 92993.  Показываем корпуса k =2,3,5  в рис. 17 . Случай k =4 непосредственно следует из случая к = 2 . Затем докажем, что из rep- k ²   следует rep- ( k +5) ² . Доказательство зависит от класса сравнения по модулю 2 из k . Если k ≅ 0  (mod 2 ), доказательство проводится согласно рис. 18 . Берем область ( k +5) h4 и частично покрываем ее областью kh4 . kh4 область может быть покрыта тайлами h4 из-за гипотезы индукции. Область, не покрытая областью х4 , разбивается на пять частей: прямоугольник (I) размерностью (5, k ) , прямоугольник (II) размерностью (5,3 k ) , прямоугольник (IV) размерами (10,2 k ) , прямоугольник (V) размерами (5,2 k ) , и область (III) типа 5 h4 . Прямоугольники (I), (II), (IV) и (V) могут быть покрыты прямоугольниками размерами (2,5) , которые состоят из двух плиток h4 (см. рис. 17 ). Если k ≅ 1  (mod 2 ), доказательство проводится согласно рис. 19 . Берем область ( k +5) h4 и частично покрываем ее областью kh4 . Район х4 может быть покрыт h4 плиток из-за гипотезы индукции. Область, не покрытая областью х4 , разбивается на пять частей: прямоугольник (I) размерностью (5, k +5) , прямоугольник (II) размерностью (5, 3 k -5) , прямоугольник (IV) с размерами (10, 2 k ) , прямоугольник (V) с размерами (5, 2 k ) , и область (III) из тип  5 h4 . Прямоугольники (I), (II), (IV) и (V) можно покрыть прямоугольниками размеров (2,5), которые состоят из двух плиток h4 .

Рис. 20:

Имеется пятиугольник, который можно разрезать на четыре копии (см. Рис. 20 ). Эта фигура известна как «сфинкс». Он состоит из пяти равносторонних треугольников. Мы будем обозначать его P .

Предложение 5    Пятиугольник  P  представлен k ² плитки для любых k ≥ 1 .

Рисунок 21:

Доказательство . Показываем корпуса k =2,3  в рис. 21 . Затем мы доказываем, что из числа k ² следует число ( k +3) ² . Доказательство зависит от класса сравнения по модулю 2 из k .

Рисунок 22:

IF K ≅ 0 (MOD 2 ), мы принимаем ( K +3) P и частично покройте это . kP область, как показано на рис. 22 . Область kP может быть покрыта плитками P из-за гипотезы индукции. Область, не покрытая областью kP , разбивается на четыре части: параллелограмм (I) размерности (2 k , 3) ​​ , параллелограмм (III) размерности (3 k ,3) , параллелограмм (IV) размерности (3, k ) , и область ( II) типа 3 P . Параллелограммы (I), (III) и (IV) могут быть покрыты параллелограммами размеров (2,3) , которые согласно рис. 21 могут быть покрыты двумя плитками P

Рисунок 23:

IF K ≅ 1 (MOD 2 ), мы принимаем ( K +3) P и частично покрыть ее KP 6666666666666666. в Рис. 23 . Область kP может быть покрыта плитками P из-за гипотезы индукции. Область, не покрытая областью kP , разбивается на четыре части: параллелограмм (I) размерности (2 k , 3) ​​ , параллелограмм (III) размеров (3 k -3, 3) , параллелограмм (IV) размеров (3, k +3) , и область (II) типа 3 P . Параллелограммы (I), (III) и (IV) можно покрыть параллелограммами размерностей (2,3) , которые можно покрыть двумя плитками P .

Рис. 24:

Два последних выпуклых0009 4 плитки, которые мы рассматриваем, получены путем небольшого изменения двух исследованных плиток уже. Обратите внимание, что h2 состоит из трех четвертей квадрата. Здесь действительно можно использовать три четверти любого прямоугольника (см. рис. 24 ). Новая плитка также представляет собой k ² для любого k ≥ 1 . Доказательство этого факта аналогично доказательству для шестиугольника h2 , а подробности оставляем заинтересованному читателю.

Рисунок 25:

Рисунок 26:

Более интересная модификация — это взять второй шестигран H3 и на SKEWS IT в 9999999999999966 и в SKEWS IT в 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999666666666666666666666666666666 гг. 25 . Угол A  находится между 0 и Π . Назовем новую плитку SH (шестигранник с перекосом). Легко видеть, что SH представляет собой k ²  для любого четного k . Тем не менее, мы считаем, что SH  – это , а не  реп- k ² для любого k нечетного. Мы надеемся решить этот вопрос в следующей статье. Упомянем здесь только что этот вопрос эквивалентен вопросу о замощении kh3  с использованием только переносов (и никаких симметрий относительно вертикальной или горизонтальной оси!) плитки, показанной на Рис. 26 .

Рис. 27:

В списке есть два звездчатых многоугольника, оба показаны на Рис. 27 . Обозначим их S1 и S2 . Доказательство следующего предложения оставляем читателю в качестве упражнения.

Предложение 6

1. S1 IS K ² для любого K ≥ 1 ;
2. S2 представляет собой k ² для любого k четного;
3. S2 не респ- k ² для любого k нечетный.

---

Библиография

1. Дж. Х. Конвей и Дж. К. Лагариас: мозаика с полимино и комбинаторная теория групп Дж. Комбин. Теория сер. А 53 1990 183-208
2. С. В. Голомб: Воспроизведение фигур на плоскости Mathematical Gazette 48 1964 403-412
3. М. Гарднер: На «репликах», многоугольниках, которые могут создавать большие и меньшие копии самих себя. Scientific American 208 1963 154-157
4. И. Пак: Инварианты ленточных плиток Пер. АМС 352 2000 5525-5561
5. WP Thurston: Мозаичные группы Конвея, амер. Мат. Ежемесячно 97 1990 757-773

---

Об этом документе.

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Никос Дракос, Отдел компьютерного обучения, Университет Лидса.
Авторское право © 1997, 1998, 1999, Росс Мур, факультет математики, Университет Маккуори, Сидней.

Аргументы командной строки:
latex2html reptiles.tex

Перевод был инициирован Viorel Nitica 25 марта 2002 г. вверх)

Квадрат из прямоугольников

Прямоугольник прямоугольниками

Квадрат треугольниками

• Только эти прямоугольные треугольники могут быть мозаичными
• Эти треугольники делают плитку

Каталожные номера

Под «\(P\) плитками \(Q\)» мы будем подразумевать, что \(Q\) можно разложить на многоугольники каждый из которых подобен \(P\). Обозначим через \(R(u)\) (класс подобия) прямоугольника со сторонами \(1\) и \(u\) и \(T(u)\) будет обозначать прямоугольный треугольник с перпендикулярными сторонами \(1\) и \(у\).

Квадрат прямоугольниками (разминка)

\(R(u)\) можно замостить квадратами тогда и только тогда, когда отношение его сторон равно рациональный.

«Понятие площади мозаики прямоугольниками» является конечно аддитивным мера для объединений прямоугольников (здесь просто называется мерой) с стороны параллельны осям. Для этого достаточно дать бидобавку функция \({\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}\to\) некоторой абелевой группы.

Используйте меру \ (\ mu (R (x, y)) = f (x) f (y) \), где \ (f : {\ mathbb {R}} \ to {\mathbb{R}}\) является \({\mathbb{Q}}\)-линейным и \(f(1) = 1\), \(f(u) = -1\).

Ден доказал это в 1903 г. (он решил 3-ю проблему Гильберта в 1900 г.). –показывая правильный тетраэдр и куб равного объема неравноразложимы). Его доказательство сложно и строит систему линейные уравнения, представляющие мозаику с единственным решением. приведенный выше аргумент был невозможен до 1905 года, когда Амель показал, что не-\({\mathbb{R}}\)-линейные аддитивные функции.

(Ден 1903) Если прямоугольник с отношением \(r_0\) разложить на прямоугольники с соотношениями \(r_1, \ldots, r_n\), затем \(r_0 \in {\mathbb{Q}}(r_1, \ldots, r_n)\).

Используйте меру \ (\ mu (R (x, y)) = f (x) f (y) \), где \ (f \) \({\mathbb{Q}}(r_1,\ldots,r_n)\)-линейная, \(f(1) = 1, f(r_0) = -1\).

Квадрат из прямоугольников

(Laczkovich and Szekeres 1995; Freiling and Rinne 1994) Квадрат можно замостить \(R(u)\) тогда и только тогда, когда \(u\) является алгебраическим, и все его сопряженные элементы имеют положительную действительную часть.

\((\Rightarrow)\) Используйте меру \(\mu(R(x,y)) = f(x) \overline{f(y)}\), где \(е : {\mathbb{Q}}(и) \hookrightarrow {\mathbb{C}}\).

9{n-3} + \cdots\). Все корни \(P(x)\) имеют положительную действительную часть тогда и только тогда, когда \[1-\frac{P(x)}{Q(x)} = c_1 x + \frac{1}{c_2 x + \frac{1}{\ddots + \frac{1}{c_n x}}}\] для положительных \(c_1, \ldots, c_n\).

Обе пары авторов используют эту теорему Уолла!

Прямоугольник прямоугольниками

(Фрейлинг, Лачкович и Ринне, 1997) \(R(v)\) можно замостить \(R(u)\) \(\iff\) существует рациональная функция с рациональными коэффициентами, отображающая \(u\) в \(v\) и сохранение отображения \(\{\Re(z)>0\}\) и \(\{\Re(z)

Квадрат треугольниками

(Лачкович 1990; Сегеди 2001) Треугольник \(T\) замощает квадрат тогда и только тогда, когда \(T\) является либо \(T(u)\), где \(u\) является алгебраическое число, у которого все действительных сопряженных чисел положительны, или \(T\) — один из трех треугольников с углами \[\left( \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{8} \right), \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{12} \right), \left( \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3} \right)\]

Лачкович доказал направление \(\Rightarrow\), а также то, что три «спорадических» треугольника выстилают квадрат. Сегеди доказал, что любой \(T(u)\) (для \(u\) алгебраических со всеми вещественными сопряженными положительными) плитками квадрат.

В той же статье, где он показал свою часть теоремы, Лачкович показывает, что если треугольник замостил прямоугольник, то это либо прямоугольный треугольник, один из трех спорадических для квадрата или один с углами \(\left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3} \right)\) – какие плитки \(R(\sqrt{3})\).

Доказательство немного длинное, поэтому мы приведем только наброски доказательств утверждения о прямоугольных треугольниках .

Только те прямоугольные треугольники могут выложить плитку

Если \(P\) разложить на треугольники, то координаты всех вершины треугольников принадлежат полю, создаваемому координаты вершин \(P\) и котангенсы углов из треугольников.

Если выпуклая \(P\) разбивается на треугольники и две вершины имеют координаты в поле, порожденном котангенсами углов треугольников, то все вершины треугольников имеют координаты в это поле.

Коллинеация — это карта, переводящая коллинеарные тройки в коллинеарные тройки (с не обязательно различными точками). Карта — это ориентация сохраняя, если он отправляет положительные треугольники либо в положительные, либо в вырожденные треугольники.

Коллинеация, сохраняющая ориентацию, посылает треугольник разложение на другое разложение треугольника (возможно, комбинаторно неизоморфны!).

Используйте комплексные линейные интегралы \(I_\Delta(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial \Delta} \frac{d \zeta}{\zeta — z}\) и тот факт, что \(\sum\partial\Delta_i\) сохраняется.

Пусть \(P\) разлагается на треугольники и \(f\) — полевой морфизм из поля, порожденного координатами вершин \(P\) и котангенсы углов треугольников в \({\mathbb{R}}\) который фиксирует подполе координат вершины. Тогда для некоторого треугольника при минимум два из \(f(\cot\theta)\) положительны. 9\circ\) не замощает квадрат. (Этот отвечает на вопрос Поса.)

(О случае прямоугольного треугольника. ) Если \(u\) имеет отрицательное действительное сопряженное (что обязательно происходит, если \(и\) трансцедентно), то мы получаем противоречие с предыдущей леммой.

Эти треугольники делают плитку

Сегеди доказывает, что если \(и\) алгебраична со всеми действительными сопряженными положительный, то \(T(u)\) замощает квадрат, искусно сводя его к результат замощения квадрата прямоугольниками.

Пусть \(P\) будет наименьшим подмножеством \({\mathbb{Q}}(t)\) таким, что 92}{f+t}+t \in P\)

Если \(u>0\) и \(f \in P\), то \(T(u)\) плитки \(R(f(u))\).

Нам просто нужно показать, что \(\{ x : T(u) \;\mathrm{tiles}\; R(x) \}\) имеет те же свойства замыкания, что и \(P\). Первые три понятны. Для последнего нарисуйте прямоугольник, отрежьте \(T(u)\) с каждого конца чтобы оставить параллелограмм, разделите его на \(n\) тонких параллелограммов и от каждого из них отрубить по \(T(u)\) сверху и снизу.

Если \(p(t)\) — полином с неотрицательными действительными коэффициентами, то \(t p(1+t^2)\) — поточечный предел функций из \(P\).